M1 - Tronc-commun

Présentation

La première année de master est un tronc-commun visant à donner des bases théoriques solides dans les divers aspects des mathématiques fondamentales et appliquées afin de poursuivre en 2ème année dans un parcours plus spécialisé. Elle est ouverte au premier semestre sur les deux campus où l'I2M est présent, au CMI à Château-Gombert et sur le campus de Luminy ; au second semestre, l'anglais et l'informatique restent sur site, mais les cours d'options sont tous regroupés sur le campus Saint-Charles.

Enseignements

Semestre 1

Semestre 2

Contenus

Semestre 1

Algèbre et géométrie 8 ECTS

  • Groupes, action de groupes.
  • Anneaux de polynômes en une et plusieurs indéterminées.
  • Corps, extensions de corps.
  • Théorie de Galois.
  • Groupes classiques.

Analyse fonctionnelle et analyse de Fourier 8 ECTS

  • Topologie des espaces métriques (compacité, complétude).
  • Espaces de Banach.
  • Fonctions continues bornées sur un espace métrique.
  • Espaces de Hilbert.
  • Séries de Fourier.
  • Espaces Lp et lp.
  • Transformée de Fourier L1.
  • Parties convexes, fonctions convexes.
  • Théorème de Hahn-Banach, applications.

Mesure, intégration, probabilités 8 ECTS

  • Théorie de la mesure.
  • Intégration sur Rn.
  • Variables aléatoires.
  • Fonction génératrice, fonction caractéristique.
  • Lois des grands nombres.
  • Théorème central limite.

Anglais 2 ECTS

À préciser.

Informatique 2 ECTS

Programmation et algorithmique.

Communication scientifique, anglais 2 ECTS

À préciser.

Semestre 2

Algèbre et arithmétique 6 ECTS

  • Structure de l'anneau Z/nZ et de son groupe des inversibles.
  • Fonctions arithmétiques élémentaires.
  • Loi de réciprocité quadratique.
  • Propriétés élémentaires des nombres premiers.
  • Approximations rationnelles des nombres réels.
  • Éléments de théorie algébrique des nombres ou théorie algorithmique des nombres.

Analyse complexe 6 ECTS

  • Fonctions holomorphes.
  • Fonctions méromorphes et applications.

EDP et analyse numérique 6 ECTS

  • EDP elliptiques 1D.
  • EDP paraboliques 1D : l’équation de la chaleur.
  • Transport à vitesse constante 1D.
  • Équation des ondes 1D.
  • Et des TP en python !

Géométrie différentielle et Topologie 6 ECTS

  • Application du calcul différentiel à la géométrie (courbes, surfaces).
  • Groupe fondamental.
  • Courbure.
  • Singularités.

Logique et calculabilité 6 ECTS

Notions élémentaires de logique, calculabilité et théorie des langages.

Processus stochastiques 6 ECTS

  • Espérance conditionnelle.
  • Généralités sur les processus stochastiques.
  • Martingales.
  • Chaı̂nes de Markov.

Travail d'Étude et de Recherche 6 ECTS

Anglais 2 ECTS

À préciser.

Informatique 2 ECTS

Programmation et algorithmique.

Communication scientifique, anglais 2 ECTS

À préciser.