M1 - Tronc-commun

Présentation

La première année de master est un tronc-commun ; elle est ouverte sur les deux campus où l'I2M est présent : au CMI à Château-Gombert et sur le campus de Luminy. Elle vise à donner des bases théoriques solides dans les divers aspects des mathématiques fondamentales et appliquées afin de poursuivre en 2ème année dans un parcours plus spécialisé.

Enseignements

Semestre 1

Semestre 2

Contenus

Semestre 1

Algèbre et géométrie 8 ECTS

  • Groupes, action de groupes.
  • Anneaux de polynômes en une et plusieurs indéterminées.
  • Corps, extensions de corps.
  • Théorie de Galois.
  • Groupes classiques.

Analyse fonctionnelle et analyse de Fourier 8 ECTS

  • Topologie des espaces métriques (compacité, complétude).
  • Espaces de Banach.
  • Fonctions continues bornées sur un espace métrique.
  • Espaces de Hilbert.
  • Séries de Fourier.
  • Espaces Lp et lp.
  • Transformée de Fourier L1.
  • Parties convexes, fonctions convexes.
  • Théorème de Hahn-Banach, applications.

Mesure, intégration, probabilités 8 ECTS

  • Théorie de la mesure.
  • Intégration sur Rn.
  • Variables aléatoires.
  • Fonction génératrice, fonction caractéristique.
  • Lois des grands nombres.
  • Théorème central limite.

Anglais 2 ECTS

À préciser.

Informatique 2 ECTS

Programmation et algorithmique.

Communication scientifique, anglais 2 ECTS

À préciser.

Semestre 2

Algèbre et arithmétique 6 ECTS

  • Structure de l'anneau Z/nZ et de son groupe des inversibles.
  • Fonctions arithmétiques élémentaires.
  • Loi de réciprocité quadratique.
  • Propriétés élémentaires des nombres premiers.
  • Approximations rationnelles des nombres réels.
  • Éléments de théorie algébrique des nombres ou théorie algorithmique des nombres.

Analyse complexe 6 ECTS

  • Fonctions holomorphes.
  • Fonctions méromorphes et applications.

EDP et analyse numérique 6 ECTS

  • EDP elliptiques 1D.
  • EDP paraboliques 1D : l’équation de la chaleur.
  • Transport à vitesse constante 1D.
  • Équation des ondes 1D.
  • Et des TP en python !

Géométrie différentielle et Topologie 6 ECTS

  • Application du calcul différentiel à la géométrie (courbes, surfaces).
  • Groupe fondamental.
  • Courbure.
  • Singularités.

Logique et calculabilité 6 ECTS

Notions élémentaires de logique, calculabilité et théorie des langages.

Processus stochastiques 6 ECTS

  • Espérance conditionnelle.
  • Généralités sur les processus stochastiques.
  • Martingales.
  • Chaı̂nes de Markov.

Travail d'Étude et de Recherche 6 ECTS

Anglais 2 ECTS

À préciser.

Informatique 2 ECTS

Programmation et algorithmique.

Communication scientifique, anglais 2 ECTS

À préciser.