Enseignements 2020-2021

Les cours spécialisés pour l'année 2020-2021 ont pour thématique "mathématiques pour l'environnement et la physique"

Voir: https://maths-sciences.univ-amu.fr/master-maap/M2-CEPS pour les généralités sur le Master M2CEPS

 

 

 

Prérequis conseillés (flèches orange) et prérequis obligatoires (flèche rouge)
Version à mettre à jour pour le deuxième semestre

RESUME DES COURS ET ENSEIGNANT.ES
 

UE Socle commun 6ECTS

EDP : François Hamel, 6h de cours et 6h de TD

Ce cours portera sur l'existence, l'unicité et des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles essentiellement linéairesde type transport, équation de Laplace, équation de Poisson, équation de la chaleur et équation des ondes.
On montrera des formules explicites ainsi que des propriétés d'unicité, par différentes méthodes (caractéristiques, énergie, convolution avec des solutions fondamentales).

Evaluation: Examen écrit 1h30 Note N1

Calcul Scientifique : Julien Olivier, 4h de cours et 9h de TP

 Ce cours commencera avec une initiation à Python qui sera déclinée en approfondissements pour les étudiants déjà familiers avec ce langage de
programmation.On étudiera et comparera ensuite différentes discrétisations élémentaires du problème 1D aux limites -u''=f, u(0)=u(1)=0 (différences finies,
volumes finis, éléments finis). On étudiera quelques propriétés théoriques de certains schémas et on les mettra également en \oe uvre en TP.
  On abordera également la discrétisation volumes finis du problème de transport $u_t+cu_x=0$ a vitesse constante. On mettra en evidence numériquement
et théoriquement les propriétés de stabilité et de convergence de ces discrétisations. On effectuera au passage quelques rappels sur les équations
différentielles ordinaires et leur discrétisation.

Evaluation: TP noté 2h Note N2

Probabilités : Nizar Demni, 6h de cours et 6h de TD

Ce cours reverra les différentes notions de convergences des variables aléatoires, les théorèmes limites classiques et des éléments de la théorie de mesure.
 On étudiera ensuite l'espérance conditionnelle dans le cas général qui nous permettra de définir des Martingales. Les cours se terminera avec des propriétés classiques des Martingales en faisant le lien
 avec des applications

Evaluation: Examen écrit 1h30 Note N3

Statistique : Oleg Lepski, 8h de cours et 3h de TD

 Modèles paramétriques. Construction d'estimateurs consistants. Méthodes particulières. Comparaison d'estimateurs, introduction à la théorie  minimax. Quelques modèles non paramétriques. Estimateurs à noyau et polynomiaux par morceaux.

Evaluation: Examen écrit 1h30 Note: N4

Note de l'UE "Socle Commun": N=0.25*(N1+N2+N3+N4)

Semestre 1,  première période

Mouvement brownien et Laplacien : Maxime Hauray, 14h de cours et 6h de TD, première période

Histoire du Mouvement brownien, introduction via les marches aléatoires. On introduira la longue histoire du mouvement Brownien, de sa première observation, à ses explications physiques, et sa conceptualisation mathématique. On étudiera la convergence des marches aléatoires vers ce nouvel objet mathématique : le mouvement Brownien. On donnera sa définition mathématique rigoureuse et ses premières propriétés.
 Propriétés du Mouvement Brownien. Intégrale stochastique, formule d’Itô. On continuera l’étude des propriétés du mouvement Brownien (régularité des trajectoires, temps de sortie,…). On expliquera comment définir l’intégrale stochastique au sens d’Ito, en insistant sur la fondamentale formule d’Ito.
 Lien avec l’équation de la chaleur. Ces outils probabilistes nous permettrons de basculer vers l’analyse. Grâce à la formule d’Ito, nous ferrons le lien avec l’équation de la chaleur. Nous parlerons des solutions fondamentales de celles-ci, de son noyau, et des liens avec les probabilités de transition du mouvement Brownien. On expliquera comment le mouvement Brownien permet de donner des représentations probabilistes d’équations elliptiques (voire paraboliques).
 Simulation. Schéma d’Euler explicite. Aperçu des problèmes posés quand le terme intégré dépend du Brownien.

Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

Modèles markoviens : Alexandre Gaudillière, 14h de cours et 6h de TD, première période

On s'intéressera dans ce cours à la notion de convergence vers l'équilibre de chaînes de Markov discrètes, à travers de nombreux exemples.
Nous étudierons plus particulièrement les notions de distance en variation totale, ses liens avec les couplages de chaînes de Markov, les temps de mélange, et enfin le
phénomène de cut-off. Toutes ses notions seront illustrées par de nombreux exemples (battage de cartes, marches aléatoires, modèle d'Ising, etc...).

Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

Méthodes d’estimation paramétrique : Oleg Lepski (cours) et Jean-Marc Freyermuth (TP), 12h de cours et 9h de TP, première période

 Etude approfondie des méthodes bayésiennes et du maximum de vraisemblance. Inegalités exponentielles (échantillon fini). Optimalité de ces méthodes d'après l'approche minimax via la normalité asymptotique locale.
 Illustration numérique des méthodes présentées en cours et leurs limites. Calcul d'estimateurs dans des modèles plus compliqués nécessitant le recours à des méthodes numériques (algortihme EM, MCMC).

Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

EDP : aspects théoriques : Michel Mehrenberger, 14h de cours et 6h de TD, première période

Le premier chapitre sera consacré à l'étude des espaces de Sobolev en dimension 1. On étudiera en particulier les espaces H1, H2, les injections de Sobolev, les résultats de densité et de prolongement, les règles de dérivation au sens faible.

Le deuxième chapitre portera sur la résolution des problemes elliptiques par des méthodes variationnelles. On rappelera les notions de produit scalaire, d'espace de Hilbert, ainsi que le théorème de projection sur un convexe fermé. On va faire appel au théorème de Lax-Milgram.

Le troisième chapitre sera dédié aux équations de transport. Après quelques exemples (trafic routier), on étudiera les équations de transport à coefficients constants (solutions fortes et faibles). Nous allons considérer également les équations de transport à coefficients variables, en introduisant la notion de flot caractéristique. On étudiera les solutions fortes et faibles, dans le cadre Lp, en faisant appel à la méthode des caractéristiques.

Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

Calcul scientifique : Florence Hubert, 8h de cours et 15h de TP, première période

 Une partie de ce cours sera spécifiquement consacré à l'apprentissage d'outils plus avancés de Python: utilisation avancée de Numpy,
manipulation des matrices creuses et conception orientée-objet. Du point de vue mathématique, ce cours sera centré sur l'étude d'équations en 1
dimension d'espace: retours/compléments sur l'équation de transport (stabilité de Von Neumann, décentrement, condition CFL), équation
d'advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Ce cours sera l'occasion de découvrir ou d'approfondir certaines propriétés des schémas
numériques (stabilité, convergence,\dots) qui n'auront pas été traité dans les autres cours. Les schémas seront essentiellement des schémas de type
volumes finis. Une grande partie du temps sera consacré à l'élaboration de la démarche de calcul scientifique : cas-tests académiques pour
validation, courbes d'erreur, avant des tests dans des cas plus généraux.

Evaluation: Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

Semestre 1,  seconde période

Calcul stochastique : Sébastien Darses, 14h de cours et 6h de TD, seconde période

Ce cours s'inscrit dans la continuité du cours Mouvement brownien et laplacien par Maxime Hauray. On révisera rapidement le Mouvement Brownien, comme objet prototype des processus gaussiens, processus de Markov et Martingales. On étendra le calcul stochastique vu dans le cours précédent aux martingales, on introduira et étudiera les équations différentielles stochastiques, les processus de diffusion, la représentation de solution d'EDP paraboliques et le théorème de Girsanov. On évoquera quelques applications en Mathématiques financières. On s'appuiera également sur le livre de Comets Meyre : Calcul stochastique et modèles de diffusion. 

Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

Statistique mathématique : Oleg Lepski, 18h de cours, seconde période

  -Théorie minimax sur les classes fonctionnelles:

  1) Estimation d'une densité de probabilité en un point fixé et dans la norme Lp sur la classe de Nikol'skii. Méthode à noyau.
  Estimation d'une densité multivariée.

  2) Modèle du bruit blanc gaussien. Estimation d'un signal dans L2 sur la classe de Sobolev. Méthode par projection. Estimation d'un signal dans Lp sur la classe d'H\"older. Méthode polynomiale par morceaux.

  3) Bornes inférieurs pour les risques minimax.

 -Introduction à la théorie adaptative.

Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

Méthodes numériques probabilistes : Erwan Hillion et Christophe Gomez, 12h de cours et 12h de TP, seconde période

Ce cours présentera différents algorithmes basés sur des outils probabilistes, et permettant de résoudre divers problèmes :
 simulation de variables aléatoires, calcul approché d'intégrales, simulation de mesure invariante, optimisation stochastique,...

Evaluation: Session unique CT 1h; note de l'UE  = 1/2 Oral + 1/2 Mémoire [la note est basée sur un projet avec un support à rendre et un oral]

EDP : aspects numériques : Michel Mehrenberger, 14h de cours et 6h de TP, seconde période

Ce cours sera constitué de deux parties. Dans une première partie on présentera le principe général des méthodes de Galerkin pour la résolution d'EDP elliptiques linéaires, on commencera par introduire formellement les espaces de Sobolev multi-dimensionnels, puis la formulation variationnelle approchée (bien posée) qui se ramène à la résolution d'un système linéaire avec de bonnes propriétés et le lemme de Céa. On verra enfin que la question centrale reste alors celle de l'approximation d'une fonction dans l'espace de dimension fini choisi.
On étudiera ensuite en détails le cas d'éléments finis P1 1D. On commencera par voir comment l'usage des fonctions de forme permet d'obtenir dans ce cas un système tridiagonal. On étabilira des estimations d'erreurs dans ce cas (erreur en norme H1 et puis en norme L2 grâce au problème dual). En TP, on implémentera ces éléments finis P1 1D et on tracera les courbes d'erreurs correspondantes (2h environ). On présentera ensuite un ou plusieurs exemples plus complexes (principe vu en cours et implémentation/courbes d'erreurs en TP) : différentes conditions aux bords, cas P2 1D...       

Dans une seconde partie on s'intéressera à la discrétisation de l'équation de transport 1D. On commencera par l'étude des schémas différences finies centré, décentrés (convergence du schéma décentré amont et non-stabilité au sens de Von Neumann des autres) dans le cas d'une vitesse et d'une condition initiale régulières. On s'intéressera ensuite au cas d'une vitesse constante et d'une donnée initiale $L^\infty$ et on étudiera la convergence du schéma volume fini décentré amont : estimations uniforme et Weak BV, compacité
faible * séquentielle , et enfin convergence. 

Evaluation: Session unique CT 3h; note de l'UE  = 2/3 Examen écrit + 1/3 Mémoire  [examen terminal écrit durant 3h (2/3 de la note) et rendus de TP (1/3 de la note)]

EDP avancées : Enea Parini, 14h de cours et 6h de TD, seconde période

     Ce cours est dans la continuation naturelle de l'UE "EDP - aspects théoriques". Après avoir introduit les espaces de Sobolev en dimension N, on abordera dans un premier temps des EDP elliptiques, pour ensuite traiter le cas des EDP paraboliques, notamment l'équation de la chaleur avec un terme de source, et les équations de réaction-diffusion. Plus précisément :

 Espaces de Sobolev en dimension N. Théorèmes de plongement et de compacité.
 Formulation faible des EDP elliptiques. Existence d'une solution par méthode variationnelle. Principe du maximum. Résultats de régularité intérieure.
 EDP paraboliques: existence d'une solution par méthode de Galerkin. Principe du maximum parabolique. Comportement asymptotique. Equations de réaction-diffusion.

Evaluation: un oral qui donne la note de l'UE

Calcul scientifique avancé : Julien Olivier, 8h de cours et 15h de TP, seconde période

Ce cours est centré sur les schémas numériques volumes finis pour les équations en 2 dimensions d'espace : transport et advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Une bonne partie du cours est consacré à la manipulation de maillage ``volumes finis'' et à l'assemblage des matrices des schémas par la structure arête. On étudiera certaines propriétés de ces schémas numériques (stabilité $L^2$ ou $L^\infty$, convergence,  préservation de la positivité,...). Dans ce cours on développera également la démarche de calcul scientifique (cas-tests, courbes d'erreur,...)

Evaluation: Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

Autres UE Semestre 1

Anglais : Marion Calvini-Lefevbre, 18h de TD

Evaluation: CCI, NF = 0.2*CC1+0.4*CC2+0.4*CC3 [contrôle continu intégral]

PPPE : Maxime Hauray,  18h de TD

Evaluation: Session unique CT (1h), NF = 1/2 Mémoire + 1/2 Oral [Oral avec rendu de projet]

 

Cours du semestre 2

Propagation d’ondes en milieu aléatoire: Christophe Gomez, ?? CM ?? TD

Résumé:

Dans ce cours, nous nous intéresserons à la propagation des ondes en milieux aléatoires au travers des équations de transfert radiatif. Les modèles de transfert radiatif, qui peuvent se voir comme des équations de Boltzmann linéaire, permettent de décrire la propagation d'énergie d'ondes se propageant dans des milieux aléatoires (turbulences atmosphériques, croûte terrestre,  tissus biologiques). La description précise d'un milieu de propagation très hétérogène étant impossible, il devient pertinent de le considérer comme aléatoire. A l'origine, cette théorie fut développée pour décrire le transport de lumière au travers de l'atmosphère. De nos jours, elle est utilisée dans des domaines aussi variés que la neutronique, la géophysique (pour l’interprétation de la coda sismique), l'illumination de scène de film d'animation, ou encore en imagerie médicale (tomographie optique).

Ce cours sera séparé en deux parties. Dans la première partie nous verrons comment obtenir mathématiquement les modèles de transfert radiatif à partir de l'équation des ondes avec un profil de vitesse aléatoire. Il est intéressant de remarquer que les modèles de transfert radiatif sont des EDP déterministes même si on les obtient à partir d'équations des ondes aléatoires. Ils ne dépendent que des propriétés statistiques du milieu de propagation (fonction de covariance du profile de vitesse aléatoire), qui, pour la pratique, peuvent être déterminées par des expériences réalisées au préalable.  C'est pour cette raison qu'on peut développer,  par exemple, des méthodes d'imagerie médicale par tomographie optique ne dépendant pas d'un patient particulier, mais seulement des propriétés du tissu étudié. 

La seconde partie du cours se concentrera sur les méthodes de simulation numérique de ces modèles de transfert radiatif. Les méthodes de choix pour ces modèles sont des méthodes de Monte-Carlo basées sur la simulation numérique de trajectoires d'un processus stochastique. Nous verrons comment prouver la représentation probabiliste de ces modèles de transfert radiatif et déterminer la loi du processus stochastique adéquat. Ce processus stochastique permet d'interpréter un modèles de transfert radiatif en terme d'évolution d'une particule aléatoire dont les mouvements sont déterminés par les propriétés statistiques du milieu de propagation de l'onde. Enfin, nous verrons l'implémentation de ces méthodes sous Python.

Des adaptations pourront être apportées à ce programme en fonction de l'auditoire

Evaluation: ??

Marche aléatoire en environnement aléatoire: Pierre Mathieu, ?? CM ?? TD

Résumé: La suite des positions, X(n), de la marche aléatoire simple sur un graphe tel que Z^2 (c’est-à-dire sur une grille
régulière de dimension deux et la marcheuse part de l’origine puis choisi successivement de sauter sur l’un de
ses quatre voisins choisi uniformément ‘au hasard’) est décrite par la loi des grands nombres: X(n)/n tend vers 0
et par le théorème de la limite centrale: la loi de X(n)/\sqrt{n} converge vers une loi gaussienne, voire le principe
d’invariance: la trajectoire correctement normalisée converge vers un mouvement brownien. Ce comportement
est diffusif.

La suite des positions de la marche aléatoire simple sur un graphe tel qu’un amas de percolation est également
diffusive et un objectif du cours sera de démontrer ce résultat. Une telle marche aléatoire sur un amas de
percolation est un exemple de marche aléatoire avec conductances aléatoires: notre marcheuse se déplace sur
une grille de dimension d en choisissant à chaque instant la direction dans laquelle se déplacer au hasard,
suivant des probabilités non-uniformes et elles-mêmes aléatoires. La donnée des probabilités de saut dans les
différentes directions - la donnée du graphe dans le cas de la percolation - constitue un environnement aléatoire.
De tels modèles sont pertinents pour différents problèmes issus de la physique en particulier pour étudier la
conduction électrique dans les semi-conducteurs dopés, e.g. [2]. Un semi-conducteur dopé contient des
impuretés au voisinage desquelles les électrons viennent de localiser qui jouent le rôle de l’environnement. Le
mouvement des électrons est correctement modélisé par une marche aléatoire. L’étude du modèle
mathématique confirme en partie les calculs de Mott (prix nobel 1977). Ces modèles sont aussi utilisés pour
comprendre les phénomènes de diffusion dans un milieu hétérogène (comme de l’eau dans les grains de café
d’un percolateur).

Les outils mathématiques utilisés pour décrire les marches aléatoires avec conductances aléatoires relèvent des
probabilités: chaînes de Markov, martingales … cf [1] mais il y a aussi un lien avec la théorie ergodique (via le
théorème du même nom) et une forte analogie avec la théorie de l’homogénéisation en EDP (en particulier on
introduit des espaces de Sobolev associés à une chaîne de Markov).
Ces outils permettent également de replacer l’étude des marches aléatoires avec conductances aléatoires dans
le cadre plus général de l’étude des fonctionnelles additives de chaînes de Markov.

A la fin du cours nous verrons aussi comment les résultats sur le comportement diffusif de marches aléatoires, et
plus généralement de fonctionnelles additives de chaînes de Markov, permettent d’obtenir des informations sur le
comportement hors-équilibre de certains systèmes via des relations dites de fluctuation-dissipation. Les relations
de fluctuation-dissipation sont au coeur de certaines méthodes récemment introduites [3] pour la prédiction du
climat. (Méthodes qui ne sont pas encore parfaitement bien justifiées d’un point de vue mathématique mais
semblent néanmoins prometteuses. Les théorèmes du cours donnent une piste pour une compréhension
rigoureuse des méthodes sus-mentionnées.)

Références:
[1] Kipnis-Varadhan: Central limit theorem for additive functionals of reversible Markov processes and
applications to simple exclusions.
Communications in Math Physics, 1986.
[2] Gantert-Faggionato-Salvi: Einstein relation and linear response in one-dimensional Mott variable-range
hopping.
Annales de l’IHP, 2019.
[3] Lucarini-Lunkeit-Ragone: Predicting Climate Change Using Response Theory: Global Averages and Spatial
Patterns.
Journal of statistical physics, 2017.

 

Evaluation: ??

Méthodes numériques pour l’équation de Vlasov: Michel Mehrenberger, 14h CM 6h TD

Résumé: L’équation de Vlasov décrit l’évolution d’une fonction de distribution de particules f=f(t,x,v), avec t le temps, x, la position et v la vitesse.
Elle est utilisée pour les plasmas de fusion, en astrophysique, ainsi que pour le transfert radiatif de chaleur et pour des modèles en biologie (l'affiche présente une simulation de cette équation!)
La résolution numérique de cette équation présente de nombreuses difficultés: dimensionalité élevée (3 dimensions pour l’espace, 3 pour la vitesse et 1 pour le temps = 7),
existence de petites structures et de grands gradients. On s’intéressera ici au développement de méthodes conservatives, à l'analyse de convergence ainsi qu’à l’implémentation.
 

Evaluation: projet (N1) + examen terminal (3h) (N2); note finale: 0.5(N1+N2)

Représentation parcimonieuse de données: Clothilde Melot, 8 CM 15 TD

Résumé: "Les sciences des données ont pour objectif « d'extraire de la connaissance » de données numériques, avec des algorithmes. Les applications sont considérables, pour stocker, analyser et valoriser les masses de données : images, sons, textes, mesures physiques ou des données Internet."
S. Mallat.

Dans ce cours on abordera les sciences des données à partir du concept de représentation parcimonieuse et de ses applications en traitement du signal. On dit qu'on a une représentation parcimonieuse d'un vecteur de données si il est possible de trouver un système générateur ou même une base dans laquelle le vecteur peut être décrit ou bien approché par une combinaison linéaire d'un petit nombre de vecteurs du système. Ce concept a émergé à partir de la fin des années 80 en mathématiques pour le traitement du signal. Il continue de jouer un rôle clé dans de nombreux domaines d'applications. En effet le fait d'être capable de représenter des données comme une combinaison d'un petit nombre de vecteurs facilite considérablement leur manipulation et donc leur traitement.

On commencera par présenter les bases et transformées maintenant classiques (Fourier et ondelettes) dans lesquels certains types de données sont naturellement parcimonieux. On fera le lien entre propriétés de régularité d'une fonction et parcimonie dans une base. On montrera l'intérêt d'utiliser de telles décompositions en traitement du signal pour des problèmes de débruitage et de déconvolution. On étudiera ensuite plusieurs algorithmes qui permettent de calculer de telles décompositions et on étudiera leurs propriétés mathématiques.

Le cours sera articulé autour de mini projets basés sur des applications en traitement du signal.

Référence:
Cours "La malédiction de la grande dimension" S. Mallat
https://www.college-de-france.fr/site/stephane-mallat/course-2017-2018.htm

Evaluation: Note de projets C1 et note d'examen ecrit ET. La note finale est Max(0.5(C1+ET),ET).

Ecoulement en eaux peu profondes: Charlotte Perrin, 16h CM 3h TP

Résumé:

Le but de ce cours est de présenter quelques éléments d’analyse théorique et numérique des équations de Saint-Venant modélisant des écoulements en eaux peu profondes.

La première partie de ce cours montrera comment le système Saint-Venant peut être obtenu comme modèle « réduit » des équations de Navier-Stokes. Nous aborderons dans une deuxième partie quelques caractéristiques (en dimension d’espace égale à un) des solutions de ces équations en lien avec l’analyse des systèmes hyperboliques : rappels sur les solutions faibles et critère d’entropie, invariants de Riemann, ondes de choc et détentes, résolution du problème de Riemann. Enfin la dernière partie sera consacrée à la discrétisation des équations de Saint-Venant, on étudiera différents schémas de type volumes finis sur plusieurs cas tests (formation de discontinuités, rupture de barrage).

Evaluation: 2/3 Examen Ecrit de 3h + 1/3 compte-rendu TP.

Cours proposés à l'école Centrale

Des cours issus du nouveau parcours Climaths de l'Ecole Centrale pourront être choisis.

Voir http://mtournus.perso.math.cnrs.fr/images/climaths_juillet.pdf, pour la description des cours

Les cours suivants pourront être choisis (comptent pour le semestre 2, mais certains cours seront au semestre 1), sous réserve de compatibilité au niveau des emplois du temps

       Slot 1 : Optimisation et contrôle, Analyse et simulation de traffic routier-opinion
       Slot 2 : EDP en biologie, Modèle de climat
       Slot 3 : Apprentissage statistique et reconstruction de données