Enseignements 2019-2020

Les cours spécialisés pour l'année 2019-2020 auront pour thématique "mathématiques du vivant"

Structure des enseignements

Résumé des cours et enseignants du premier semestre

Socle commun

  • EDP : François Hamel, 6h de cours et 6h de TD

Ce cours portera sur l'existence, l'unicité et des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles essentiellement linéairesde type transport, équation de Laplace, équation de Poisson, équation de la chaleur et équation des ondes.
On montrera des formules explicites ainsi que des propriétés d'unicité, par différentes méthodes (caractéristiques, énergie, convolution avec des solutions fondamentales).

  • Calcul Scientifique : Julien Olivier, 4h de cours et 9h de TP

 Ce cours commencera avec une initiation à Python qui sera déclinée en approfondissements pour les étudiants déjà familiers avec ce langage de
programmation.On étudiera et comparera ensuite différentes discrétisations élémentaires du problème 1D aux limites -u''=f, u(0)=u(1)=0 (différences finies,
volumes finis, éléments finis). On étudiera quelques propriétés théoriques de certains schémas et on les mettra également en \oe uvre en TP.
  On abordera également la discrétisation volumes finis du problème de transport $u_t+cu_x=0$a vitesse constante. On mettra en evidence numériquement
et théoriquement les propriétés de stabilité et de convergence de ces discrétisations. On effectuera au passage quelques rappels sur les équations
différentielles ordinaires et leur discrétisation.

  • Probabilités : Sébastian Müller, 6h de cours et 6h de TD

Ce cours reverra les différentes notions de convergences des variables aléatoires, les théorèmes limites classiques et des éléments de la théorie de mesure.
 On étudiera ensuite l'espérance conditionnelle dans le cas général qui nous permettra de définir des Martingales. Les cours se terminera avec des propriétés classiques des Martingales en faisant le lien
 avec des applications

  • Statistique : Oleg Lepski, 8h de cours et 3h de TD

 Modèles paramétriques. Construction d'estimateurs consistants. Méthodes particulières. Comparaison d'estimateurs, introduction à la théorie  minimax. Quelques modèles non paramétriques. Estimateurs à noyau et polynomiaux par morceaux.

  • Mouvement brownien et laplacien : Maxime Hauray, 14h de cours et 6h de TD, première période

Histoire du Mouvement brownien, introduction via les marches aléatoires. On introduira la longue histoire du mouvement Brownien, de sa première observation, à ses explications physiques, et sa conceptualisation mathématique. On étudiera la convergence des marches aléatoires vers ce nouvel objet mathématique : le mouvement Brownien. On donnera sa définition mathématique rigoureuse et ses premières propriétés.
 Propriétés du Mouvement Brownien. Intégrale stochastique, formule d’Itô. On continuera l’étude des propriétés du mouvement Brownien (régularité des trajectoires, temps de sortie,…). On expliquera comment définir l’intégrale stochastique au sens d’Ito, en insistant sur la fondamentale formule d’Ito.
 Lien avec l’équation de la chaleur. Ces outils probabilistes nous permettrons de basculer vers l’analyse. Grâce à la formule d’Ito, nous ferrons le lien avec l’équation de la chaleur. Nous parlerons des solutions fondamentales de celles-ci, de son noyau, et des liens avec les probabilités de transition du mouvement Brownien. On expliquera comment le mouvement Brownien permet de donner des représentations probabilistes d’équations elliptiques (voire paraboliques).
 Simulation. Schéma d’Euler explicite. Aperçu des problèmes posés quand le terme intégré dépend du Brownien.

  • Modèles markoviens : Bruno Schapira, 14h de cours et 6h de TD, première période

On s'intéressera dans ce cours à la notion de convergence vers l'équilibre de chaînes de Markov discrètes, à travers de nombreux exemples.
Nous étudierons plus particulièrement les notions de distance en variation totale, ses liens avec les couplages de chaînes de Markov, les temps de mélange, et enfin le
phénomène de cut-off. Toutes ses notions seront illustrées par de nombreux exemples (battage de cartes, marches aléatoires, modèle d'Ising, etc...).

  • Méthodes d’estimation paramétrique : Oleg Lepski et Jean-Marc Freyermuth, 12h de cours et 9h de TP, première période

 Etude approfondie des méthodes bayésiennes et du maximum de vraisemblance. Inegalités exponentielles (échantillon fini). Optimalité de ces méthodes d'après l'approche minimax via la normalité asymptotique locale.
 Illustration numérique des méthodes présentées en cours et leurs limites. Calcul d'estimateurs dans des modèles plus compliqués nécessitant le recours à des méthodes numériques (algortihme EM, MCMC).

  • EDP : aspects théoriques : Mihaï Bostan, 14h de cours et 6h de TD, première période

Le premier chapitre sera consacré à l'étude des espaces de Sobolev en dimension 1. On étudiera en particulier les espaces H1, H2, les injections de Sobolev, les résultats de densité et de prolongement, les règles de dérivation au sens faible.

Le deuxième chapitre portera sur la résolution des problemes elliptiques par des méthodes variationnelles. On rappelera les notions de produit scalaire, d'espace de Hilbert, ainsi que le théorème de projection sur un convexe fermé. On va faire appel au théorème de Lax-Milgram.

Le troisième chapitre sera dédié aux équations de transport. Après quelques exemples (trafic routier), on étudiera les équations de transport à coefficients constants (solutions fortes et faibles). Nous allons considérer également les équations de transport à coefficients variables, en introduisant la notion de flot caractéristique. On étudiera les solutions fortes et faibles, dans le cadre Lp, en faisant appel à la méthode des caractéristiques.

  • Calcul scientifique : Florence Hubert, 8h de cours et 15h de TP, première période

 Une partie de ce cours sera spécifiquement consacré à l'apprentissage d'outils plus avancés de Python: utilisation avancée de Numpy,
manipulation des matrices creuses et conception orientée-objet. Du point de vue mathématique, ce cours sera centré sur l'étude d'équations en 1
dimension d'espace: retours/compléments sur l'équation de transport (stabilité de Von Neumann, décentrement, condition CFL), équation
d'advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Ce cours sera l'occasion de découvrir ou d'approfondir certaines propriétés des schémas
numériques (stabilité, convergence,\dots) qui n'auront pas été traité dans les autres cours. Les schémas seront essentiellement des schémas de type
volumes finis. Une grande partie du temps sera consacré à l'élaboration de la démarche de calcul scientifique : cas-tests académiques pour
validation, courbes d'erreur, avant des tests dans des cas plus généraux.

   

  • Calcul stochastique : Sébastien Darses, 14h de cours et 6h de TD, seconde période

Ce cours s'inscrit dans la continuité du cours Mouvement brownien et laplacien par Maxime Hauray. On révisera rapidement le Mouvement Brownien, comme objet prototype des processus gaussiens, processus de Markov et Martingales. On étendra le calcul stochastique vu dans le cours précédent aux martingales, on introduira et étudiera les équations différentielles stochastiques, les processus de diffusion, la représentation de solution d'EDP paraboliques et le théorème de Girsanov. On évoquera quelques applications en Mathématiques financières. On s'appuiera également sur le livre de Comets Meyre : Calcul stochastique et modèles de diffusion. 

  • Statistique mathématique : Oleg Lepski, 18h de cours, seconde période

  -Théorie minimax sur les classes fonctionnelles:

  1) Estimation d'une densité de probabilité en un point fixé et dans la norme Lp sur la classe de Nikol'skii. Méthode à noyau.
  Estimation d'une densité multivariée.

  2) Modèle du bruit blanc gaussien. Estimation d'un signal dans L2 sur la classe de Sobolev. Méthode par projection. Estimation d'un signal dans Lp sur la classe d'H\"older. Méthode polynomiale par morceaux.

  3) Bornes inférieurs pour les risques minimax.

 -Introduction à la théorie adaptative.

  • Méthodes numériques probabilistes : Erwan Hillion et Christophe Gomez, 12h de cours et 12h de TP, seconde période

Ce cours présentera différents algorithmes basés sur des outils probabilistes, et permettant de résoudre divers problèmes :
 simulation de variables aléatoires, calcul approché d'intégrales, simulation de mesure invariante, optimisation stochastique,...

 

  • EDP : aspects numériques : Michel Mehrenberger, 14h de cours et 6h de TP, seconde période

 

Ce cours sera constitué de deux parties. Dans une première partie on présentera le principe général des méthodes de Galerkin pour la résolution d'EDP elliptiques linéaires, on commencera par introduire formellement les espaces de Sobolev multi-dimensionnels, puis la formulation variationnelle approchée (bien posée) qui se ramène à la résolution d'un système linéaire avec de bonnes propriétés et le lemme de Céa. On verra enfin que la question centrale reste alors celle de l'approximation d'une fonction dans l'espace de dimension fini choisi.
On étudiera ensuite en détails le cas d'éléments finis P1 1D. On commencera par voir comment l'usage des fonctions de forme permet d'obtenir dans ce cas un système tridiagonal. On étabilira des estimations d'erreurs dans ce cas (erreur en norme H1 et puis en norme L2 grâce au problème dual). En TP, on implémentera ces éléments finis P1 1D et on tracera les courbes d'erreurs correspondantes (2h environ). On présentera ensuite un ou plusieurs exemples plus complexes (principe vu en cours et implémentation/courbes d'erreurs en TP) : différentes conditions aux bords, cas P2 1D...       

Dans une seconde partie on s'intéressera à la discrétisation de l'équation de transport 1D. On commencera par l'étude des schémas différences finies centré, décentrés (convergence du schéma décentré amont et non-stabilité au sens de Von Neumann des autres) dans le cas d'une vitesse et d'une condition initiale régulières. On s'intéressera ensuite au cas d'une vitesse constante et d'une donnée initiale $L^\infty$ et on étudiera la convergence du schéma volume fini décentré amont : estimations uniforme et Weak BV, compacité
faible * séquentielle , et enfin convergence. 

  • EDP avancées : Enea Parini, 14h de cours et 6h de TD, seconde période

     Ce cours est dans la continuation naturelle de l'UE "EDP - aspects théoriques". Après avoir introduit les espaces de Sobolev en dimension N, on abordera dans un premier temps des EDP elliptiques, pour ensuite traiter le cas des EDP paraboliques, notamment l'équation de la chaleur avec un terme de source, et les équations de réaction-diffusion. Plus précisément :

 Espaces de Sobolev en dimension N. Théorèmes de plongement et de compacité.
 Formulation faible des EDP elliptiques. Existence d'une solution par méthode variationnelle. Principe du maximum. Résultats de régularité intérieure.
 EDP paraboliques: existence d'une solution par méthode de Galerkin. Principe du maximum parabolique. Comportement asymptotique. Equations de réaction-diffusion.

  • Calcul scientifique avancé : Julien Olivier, 8h de cours et 15h de TP, seconde période

Ce cours est centré sur les schémas numériques volumes finis pour les équations en 2 dimensions d'espace : transport et advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Une bonne partie du cours est consacré à la manipulation de maillage ``volumes finis'' et à l'assemblage des matrices des schémas par la structure arête. On étudiera certaines propriétés de ces schémas numériques (stabilité $L^2$ ou $L^\infty$, convergence,  préservation de la positivité,...). Dans ce cours on développera également la démarche de calcul scientifique (cas-tests, courbes d'erreur,...)

Anglais : Marion Calvini-Lefevbre, 18h de TD
PPPE : Julia Charrier,  18h de TD

 

Titre des cours et enseignants du deuxième semestre

  • Construction et ajustement de modèles sur des données biologiques : Pierre Pudlo, Florence Hubert, 12h de cours et 9h de TP

  • Contrôle optimal en cancérologie : Assia Benabdallah, Guillemette Chapuisat, 14h de cours et 6h de TP

  • Equations de réaction-diffusion et invasions biologiques : François Hamel, 18h de cours

  • Mesures aléatoires de Poisson et applications : Fabienne Castell et Etienne Pardoux, 14h de cours et 6h de TP

  • Méthodes statistiques modernes en imagerie cérébrale : Jean-Marc Freyermuth, 14h de cours et 6h de TP

Cours proposés à l'école Centrale

 

Les cours ci-dessous peut-être choisis comme UE d'ouverture (l'emploi du temps est compatible), ils seront bientôt ajoutés dans l'emploi du temps du M2.

Optimisation (octobre-novembre)

Equations de Réaction-diffusion (octobre-novembre)

Fondements théoriques de l'apprentissage statistique (février-mars) constitué de trois parties (comptant chacune pour une UE)

Voir ici pour plus d'informations sur ces cours:  https://wiki.centrale-marseille.fr/digitale/

ou ici : https://wiki.centrale-marseille.fr/omis/public:fiches_ue:2016_17:parcour...