M2 - Mathématiques Fondamentales - 2021-2022

Représentation des groupes et programme de Langlands.

MASTER CLASS 7-11 juin 2021 à la FRUMAM

Groupes de Galois, théorème de Kronecker-Weber (Ch. PITTET)
Cours pour M1, accessible aux M2 et doctorants intéressés

Représentations de groupes finis, fonctions L de Dirichlet et de Artin, théorème de Brauer (B. LEMAIRE)
Cours pour M1, accessible aux M2 et doctorants intéressés

Journée Langlands 11 juin à la FRUMAM
Exposés de G. HENNIART, R. BEUZART-PLESSIS ou V. HEIERMANN, A. I. BADULESCU, P.-H. CHAUDOUARD

COURS INTENSIFS  13-24 septembre 2021

Préparation p-adique (J.-Y. BRIEND)
Nombres p-adiques, groupes localement compacts, mesures de Haar, espaces totalement discontinus, dualité de Pontryagin, partie locale de la thèse de Tate, partie l-espaces de Bernstein-Zelevinsky
   
Introduction aux représentations des groupes (Ch. PITTET)
Représentation des groupes finis: induction, restriction, réciprocité de Frobenius, algèbre de groupes, théorie de Mackey, groupe de Grothendieck

Introduction à la géométrie algébrique (M. PUSCHNIGG)
Espaces affines, topologie de Zariski, théorème des zéros de Hilbert, variétés affines, équivalences de catégories et k-algèbres, tores, espace projectifs, action du groupe de Galois et rationnalité

SEMINAIRE ETUDIANTS 11 x 2 h sur les deux semestres.

Organisé par V. HEIERMANN et Ch. PITTET, encadré par les membres de l'équipe pédagogique.
L-groupe et  fonctorialité de Langlands, applications du programme de Langlands, compléments de cours, formes modulaires, etc.

PREMIER SEMESTRE

Théorie des nombres (J.-Y. BRIEND, S. DRAPPEAU)
Corps locaux et globaux (essentiellement caractéristique 0), groupes de Galois absolu, anneaux de Dedekind, décompositions d'idéaux premiers, ramification, conducteur, adèles et idèles, théorie du corps de classes, loi de réciprocité d'Artin, fonctions L de Hecke et d'Artin, thèse de Tate sur l'équation fonctionnelle des fonctions L de Hecke, théorème de densité de Chebotarev.

Représentation des groupes réels et p-adiques (Ch. PITTET)
Représentations lisses et admissibles, induction parabolique, foncteur de Jacquet, représentation cuspidale, caractères non-ramifiés, représentations tempérées et de carré intégrable avec critères de Casselman, classification de Langlands, Peter-Weyl, le dual de SU(n), le dual unitaire de GL(2,k).

Groupes linéaires algébriques (M. PUSCHNIGG)
Notions de groupes linéaires algébriques (essentiellement caractéristique 0), orbites, groupes diagonalisables, groupes résolubles, groupes semi-simples et réductifs, tores maximaux, sous-groupes de Borel, sous-groupes paraboliques et facteurs de Levi, systèmes de racines et classification, k-formes, domaine de Siegel et théorie de réduction/densité.

DEUXIEME SEMESTRE (Cours et Diplômes de M2)

Introduction à la formule des traces et correspondance de Jacquet-Langlands (R. BEUZART-PLESSIS)
Algèbres centrales simples sur les corps locaux et globaux, notion de formes intérieures, formule des traces simple, intégrales orbitales, comparaison et transfert, outils d'analyse harmonique (centre de Bernstein non-ramifié et multiplicateurs), preuve de la correspondance de Jacquet-Langlands. Si le temps le permet: dualité de Langlands et introduction à la fonctorialité.

Représentations automorphes (V. HEIERMANN)
Notions de formes automorphes, représentations automorphes, représentations cuspidales, opérateurs d'entrelacement, série d'Eisenstein, modèle de Whittaker, fonctions L, représentations automorphes et de carré intégrable, méthode de Langlands-Shahidi.

Responsables : Volker Heiermann, Christophe Pittet