Parcours Mathématiques Fondamentales (MF). Offres de stages

 

Offres de stages: 2016-2017
Introduction aux variétés toriques.

Responsables : Anne Pichon et Guillaume Rond anne.pichon@univ-amu.fr, guillaume.rond@univ-amu.fr

Proposition: sujet_de_memoire_m2_rp.pdf

Méthodes probabilistes en géométrie complexe.

Responsable : Julien Keller Julien.Keller@math.cnrs.fr

Dans ce sujet, on étudie des objets de la géométrie complexe analytique en utilisant des méthodes nouvelles de mécanique statistique et des probabilités. Je propose dans un premier temps de se familiariser avec les notions de bases de la géométrie complexe (géométrie de K ahler). C'est un des domaines les plus actifs de la géométrie actuelle car il est connecte a de nombreuses autres disciplines des mathématiques fondamentales, comme la géométrie algébrique, la physique des particules, l'analyse complexe etc. On s'intéressera ensuite à des objets particuliers de cette géométrie K ahler : les métriques de K ahler-Einstein. Elles sont solutions d'EDP hautement non linéaires reliées à la théorie de la Relativité dans le vide. En general, il est impossible "d'écrire" la solution de ces EDP, cette solution étant de nature transcendante. Le but du stage sera de comprendre comment de nouvelles methodes issues du travail très recent de R. Berman permettent néanmoins de les approcher canoniquement. Les preuves se basent sur des arguments de thermodynamique et de mécanique statistique ou des convergences au sens faible sont obtenues, mais le point de depart est l'étude d'un objet très simple en algèbre linéaire : le permanent. Le travail de Berman a aussi un lien avec la théorie du transport optimal (géométrie Riemanienne, théorie de la mesure, equation de Monge-Ampère). Le but du stage est de comprendre les arguments de R. Berman et d'étudier dans le detail des cas simples, par exemple celui des courbes elliptiques ou les résultats peuvent être raffinés et probablement exploitables d'un point de vue numérique.

Prérequis obligatoire : cours de fonctions holomorphes.
Serait un plus d'avoir suivi un cours sur les surfaces de Riemann ou le courbes elliptiques, ou de géométrie algébrique complexe, ou de dynamique complexe, et de langage impératif.

Référence: http://arxiv.org/abs/1501.07820

Correspondance pour les fibrés.

Responsable : Julien Keller Julien.Keller@math.cnrs.fr

Dans ce sujet, on propose d'étudier la correspondance de Kobayashi-Hitchin pour des fibrés vectoriels holomorphes sur une variété projective complexe. Etant donne un fibré vectoriel, la correspondance assure un lien entre d'un côté l'existence d'une solution à une certaine EDP (équation à derivees partielles) et d'un autre côté la stabilité algébrique du fibré. C'est un lien absolument remarquable, un pont entre deux domaines très différents. L'EDP en question, est appelée equation d'Hermite-Einstein. Elle apparaît sous différentes formes dans de nombreux domaines de la géométrie analytique. Elle impose une certaine condition de courbure sur la métrique vivant sur le fibré vectoriel. La solution à cette equation est de nature transcendante et est unique. D'un autre côté, on peut tester la stabilité algébrique du fibré en regardant les sous fibrés et en calculant des nombres rationnels, que l'on nomme pentes. Une inégalité très simple sur les pentes doit être satisfaite pour qu'un fibré soit stable. L'étude des fibrés stables est reliée à des constructions d'espaces de modules qui ont un grand intérêt en géométrie algébrique. L'objectif du memoire est de demontrer la correspondance dans le cas élémentaire en suivant les references classiques. Une partie cle de la preuve repose sur l'étude d'un flot de métriques, le flot de la chaleur, qui converge vers la métrique d'Hermite-Einstein si celle-ci existe. On étudiera ensuite le cas ou le fibré est instable. De récents progrès ont été faits sur cette question, dans le but de comprendre le comportement du flot de la chaleur quand il n'y a pas de limite, faisant apparaître une structure géométrique intéressante associée au fibré. Le sujet est l'occasion d'acquérir les techniques de base en géométrie complexe.

De nombreuses questions ouvertes sur la thématique peuvent conduire à des sujets de thèse.

Prérequis obligatoire : cours de fonctions holomorphes. Serait un plus d'avoir suivi un cours de géometrie algébrique complexe, de géométrie Riemannienne.

Références:
http://www.math.harvard.edu/~siu/siu_reprints/dmv_book.pdf
http://mathsoc.jp/publication/PublMSJ/PDF/Vol15.pdf

https://arxiv.org/abs/1012.1888
https://arxiv.org/abs/1402.3808
https://arxiv.org/abs/1206.5491

 

Offres de stages: 2015-2016
Billard dual dans le plan hyperbolique.

Responsable : Nicolas Bédaride nicolas.bedaride@univ-amu.fr.

Le billard dual est une isométrie par morceaux du plan euclidien défini à partir d'un polygone. Une des questions principales est de trouver des polygones pour lesquels il existe des points d'orbites non bornées.
Le but du mémoire est de lire deux articles qui définissent le même objet dans le plan hyperbolique et de comprendre la dynamique pour un triangle.

De manière plus précise, on considère $P$ un polygone du plan hyperbolique. Le billard dual est défini à l'extérieur de $P$ comme un application $T$ donnée de la façon suivante: Si $x$ est dans l'extérieur de $P$, il existe deux droites tangentes à $P$ et passant par $x$. On considère celle pour laquelle $P$ est toujours à gauche. On définit alors $Tx$ comme le symétrique de $x$ par rapport au point de contact de la tangente avec $P$. La question centrale du mémoire est de décrire l'orbite d'un point $x$ quelconque si $P$ est un triangle lorsque l'on itère l'isométrie par morceaux.

Références:

F. Dogru and S. Tabachnikov: On the polygonal dual billiard on the hyperbolic plane, Regular and chaotic dynamics 2003.

F. Dogru, E. M. Fisher and C. M. Munteanu: Outer billiards and tilings of the hyperbolic plane, Preprint 2015.

 

Théorèmes ergodiques et applications.

Responsables : Marie-Claude Arnaud et Andrea Venturelli  marie-claude.arnaud@univ-avignon.fr, Andrea.Venturelli@univ-avignon.fr (Université d'Avignon)

Les systèmes dynamiques différentiables définis sur une variété M, qu'ils soient des difféomorphismes ou des flots, étudient le comportement en temps long du système i.e. son comportement asymptotique. Quand on étudie ce comportement au sens de la mesure, deux théorèmes fondamentaux ont de multiples applications. Il s'agit du théorème ergodique additif de Birkhoff et du théorème ergodique sous-additif de Kingman. Une application classique du théorème de Kingman est l'existence sur un ensemble de mesure totale des exposants de Lyapunov, définis comme les taux de croissance exponentielle des vecteurs sous l'action du système dynamique linéarisé. Une application du théorème de Birkhoff est l'existence de l'indice de Maslov asymptotique (appelé aussi nombre de rotation en dimension 2).

Pendant ce stage, on commencera par étudier une démonstration simple des deux théorèmes ergodiques mentionnés ci-dessus qui est due à Avila et Bochi et on en donnera des versions améliorées dans certains cas (comme par exemple un résultat de Furman pour les mesures uniquement ergodiques). On expliquera comment définir le plus grand exposant de Lyapunov et on donnera des résultats raffinés qui utilisent les résultats de Furman. Suivant D. Ruelle, on expliquera ensuite comment définir l'indice de Maslov asymptotique, d'abord en dimension 2 pour tout difféomorphisme ou en dimension 3 pour les flots voire les flots hamiltoniens en dimension 4, en utilisant le théorème ergodique de Birkhoff (voire en dimension supérieure si on a le temps). Le but de ce stage est double: la fois arriver a donner des résultats fins sur les exposants de Lyapunov et aussi bien comprendre l'indice de Maslov asymptotique. Ce dernier point sera en particulier essentiel si l'étudiant(e) souhaite poursuivre en thèse.

Il est en effet fort probable qu'une allocation doctorale soit attribuée au laboratoire de Mathématiques d'Avignon en 2016.

Prerequis

Il est recommandé d'avoir suivi un cours de systèmes dynamique. Des connaissances de base sur les variétés différentielles seraient également bienvenues.

Pratique

Une gratification de 554.40 euros par mois de stage sera accordée à l'étudiant.

L'étudiant se déplacera régulièrement à Avignon pour rencontrer ses encadrants.

Références

A. Avila & J. Bochi, on the subadditive ergodic theorem, http://www.mat.uc.cl/~jairo.bochi/docs/kingbirk.pdf

Alex Furman  On the multiplicative ergodic theorem for uniquely ergodic systems, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 33 (1997), no. 6, 797-815

David Ruelle, Rotation numbers for diffeomorphisms and flows. Ann. Inst. H.Poincaré Phys. Theor. 42 (1985), no. 1, 109-115.

 

Le Nullstellensatz de Cartan

Responsables : Stéphane Rigat et El Hassan Youssfi stephane.rigat@univ-amu.frel-hassan.youssfi@univ-amu.fr

Le but de ce mémoire est d'étudier un article très récent de R. Mortini portant sur la preuve du Nullstellensatz moyennant la théorie des algèbres de Banach. Il s'agit, d'abord, d'étudier les caractères  et les idéaux maximaux de l'algèbre du polydisque, puis appliquer cette théorie à la résolution de l'équation de Bézout dans l'espace des fonctions entières à plusieurs variables. Plus précisement, étant données $N$  fonctions  $f_1, \cdots, f_N$ holomorphes sur $\C^n$, alors il existe  $N$  fonctions  $g_1, \cdots, g_N$ holomorphes sur $\C^n$ vérifiant $f_1g_1 + \cdots+ f_N g_N = 1$ si et seulement si  les fonctions $f_1, \cdots, f_N$ n'ont pas de zéro commun. Cela offre une preuve analytique simple du Nullstellensatz de Cartan.

Référence

Raymond Mortini, A short proof of Cartan's Nullstellensatz for entire functions in C^n, http://arxiv.org/abs/1511.04570
 
Dynamique Linéaire

Responsable : Stéphane Charpentier stephane.charpentier.amu@gmail.com

Un opérateur $T$ agissant sur un espace de Banach $X$ est dit hypercyclique s'il existe un vecteur $x\in X$ tel que orbite de $x$ sous l'action de $T$, c'est-à-dire l'ensemble $\text{Orb}(x,T)=\{T^nx,\,n\in \mathbb{N}\}$, est dense dans $X$. $x$ est un vecteur hypercyclique de $T$.

Quelques caractérisations de l'hypercyclicité et des critères permettant de montrer aisément qu'un opérateur est hypercyclique sont connus, et il s'avère que la plupart des opérateurs classiques les plus simples (opérateurs de translation, de dérivation, de composition, de décallage) sont en général hypercycliques.

Le but de ce travail consisterait en une courte introduction à l'hypercyclicité et en l'étude spécifique d'un résultat dù à F.Leon-Saavedra et V.Müller \cite{LM} et d'une généralisation de ce dernier à un cadre plus abstrait, due à S.Shkarin \cite{SH}. Le résultat de Leon-Saavedra et Mûller assure qu'un opérateur $T$ est hypercyclique sur un espace de Banach complexe si et seulement si l'opérateur $zT$ l'est, quelque soit $z\in \mathbb{C}$ de module $1$. Shkarin exploite l'idée principale du résultat de Leon-Saavedra et Müller et adopte le point de vue des systèmes dynamiques plus généraux (non linéaire) pour en produire un énoncé qui englobe celui de Leon et Müller, mais aussi d'autres résultats importants en dynamique linéaire.

Cette étude s'appuierait sur les textes suivants:

{BM}  F.Bayart, E.Matheron, Dynamics of Linear Operators, Cambridge Tracts in Math, vol. 179, Cambridge University Press, 2009.

{LM} F.Leon-Saavedra, Müller, Rotations of hypercyclic and supercyclic operators, Integ. Eq. Oper. Th. 50 (2004) 385-391.

{SH} S.Shkarin, Universal elements for non-linear operators and their applications, J. Math. Anal. Appl. 348 (208) 193-210.

 
Arbres recouvrants et processus déterminantaux

Responsable : Alexander Bufetov alexander.BUFETOV@univ-amu.fr

 
Un arbre recouvrant est un sous-graphe d'un graphe donné qui en contient tous les sommets. Munissons l'ensemble de tous les arbres recouvrants de la probabilité uniforme. Quelle est la probabilité d'une configuration fixée?
La réponse - une belle formule explicite déterminantale - en est donnée par le Théorème de Burton-Pemantle sur les arbres recouvrants. Le projet propose d'exposer la preuve de Benjamini-Lyons-Peres-Schramm du théorème. Voir https://projecteuclid.org/euclid.aop/1008956321 , formule (4.4).
Preuve astucieuse et belle qui ne nécessite rien que de l'algèbre linéaire élémentaire.
 
 
Chemins aléatoires sans intersection et processus déterminantaux

Responsable : Alexander Bufetov alexander.BUFETOV@univ-amu.fr

 
Le projet est d'exposer le Théorème de Johansson qui donne une formule déterminantale explicite pour les processus déterminantaux markoviens qui énumèrent les recouvrements du diamant azteque, les chemins aléatoires sans intersection (non-intersecting paths), les diagrammes de Young en 3 dimensions etc.
Voir  http://arxiv.org/abs/0708.2349 , Proposition 5

Outils: algèbre linéaire et polynômes orthogonaux en variable discrète; certains calculs (élémentaires, mais pas toujours faciles) à refaire. Projet nécessitant une certaine indépendance. Une suite possible (largement suffisante pour un mémoire M2) serait le théorème de Petrov:

Asymptotics of Uniformly Random Lozenge Tilings of Polygons. Gaussian Free Field (2012)arXiv:1206.5123 [math.PR]Annals of Probability, 43 (2014), no. 1, 1–43.

 

Processus de Bessel et mesure de Plancherel
Responsable : Alexander Bufetov alexander.BUFETOV@univ-amu.fr
 

La mesure de Plancherel sur l'ensemble des diagrammes de Young est l'image de la mesure uniforme sur les permutations par la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth. Le Théorème de Johansson/Borodin-Okounkov-Olshanski, qui revolutionna la combinatoire asymptotique, dit que la poissonisation de la mesure de Plancherel est donnée par une mesure déterminantale correspondant au noyau de Bessel. Des nombreuses preuves existent pour ce résultat fondamental. Le but du projet est d'exposer une d'elles, celle qui se base sur le formalisme des fonctions symétriques.

Voir Borodin et Gorin http://arxiv.org/pdf/1212.3351.pdf , Corollaire 5.4
(Notes très bien écrites, mais le théorème arrive après un peu de théorie qu'il faut maîtriser.
 

Les espaces-temps de Margulis
Responsable : Frederic Palesi frederic.palesi@univ-amu.fr

Un espace-temps de Margulis est une variété de dimension 3 munie d'une structure affine, et dont le groupe fondamental est libre. On peut voir ces objets comme des quotients M=E/G de l'espace de Minkowski E (c'est à dire l'espace affine R^3 muni d'une forme bilinéaire de signature (2,1)), par un sous-groupe discret G d'isométries de E.  Les premiers exemples de tels objets ont été découverts par Margulis dans les années 1980, suite à une question de Milnor sur les groupes fondamentaux de variétés affines. Tout sous-groupe discret G d'isométries de E possède une partie linéaire L(G) qui est un sous-groupe discret de SO(2,1). Donc à chaque espace-temps de Margulis M=E/G on peut associer une surface hyperbolique correspondant au quotient du plan hyperbolique par L(G).  Le but du stage sera de comprendre certaines méthodes pour construire des espaces-temps de Margulis à partir d'une surface hyperbolique donnée. En particulier, on pourra étudier certains domaines fondamentaux de G qui sont bordés par des "plans croches", qui sont des sous-espaces affines par morceaux de E.

Prérequis : Il est recommandé d'avoir suivi les cours de "géométrie hyperbolique" et "surfaces hyperboliques".
 
Bibliographie: 
[D] T. Drumm, "Fundamental polyhedra for Margulis space-times", Topology, vol.31 (1992)
[GLM] W. Goldman, F. Labourie and G. Margulis, "Proper affine actions and geodesic flows of hyperbolic surfaces", Annals of Maths, 170 (2009)
[DGK] J. Danciger, F. Gueritaud and F.Kassel, "Margulis space-times via the arc complex", A paraitre dans Inventiones Mathematicae.
 
Fonctions de Morse et transversalité dans des structures o-minimales
Responsable : David Trotman david.trotman@univ-amu.fr

Le stage comporte une étude de deux résultats de Tà Lê Loi. Le premier est une propriété de modération d'ensembles définissables dans des structures o-minimales montrant que les fonctions de Morse sur un fermé définissable forment un ouvert dense dans l'espace des fonctions définissables muni de la topologie de Whitney. Le deuxième résultat est une version o-minimale du théorème de transversalité de Thom. Il n'y a pas de restrictions sur la classe de différentiabilité et les dimensions des variétés.

Bibliographie: 

1. Density of Morse functions on sets definable in o-minimal structures, Ann. Polon. Math. 89 (2006), 289-299.
2. Transversality theorem in o-minimal structures, Compositio Math., 144 (2008), 1227-1234.

Caractérisation de formes : Invariants par rotation des formes quartiques

Responsables : Evelyne Hubert evelyne.hubert@inria.frTheodore Papadopoulo Theodore.Papadopoulo@inria.fr et Boris Kolev boris.kolev@math.cnrs.fr 

C'est un projet de Master 2 sur le calcul des invariants des ternaires quadriques. Le sujet, et son contexte, est decrit dans le document attache quarticinvariantsshort.pdf. Le stage de 5 mois peut etre remuneré (à hauteur du smic).

 

Dynamique de l'opérateur de différentiation

Responsable : Hélène Bommier helene.bommier@gmail.com

On considère un espace vectoriel topologique séparable E, et T un opérateur linéaire sur E L'étude de la dynamique de T revient à étudier le comportement des itérés de T^n x pour x dans E. Le but de ce stage est de comprendre les différentes notions liées à la cyclicité d'un opérateur. On pourra s'intéresser en particulier à l'opérateur de différentiation D sur des espaces de Banach de fonctions entières, et par exemple étudier l'article [DS], où Drasin et Saksman établissent une condition optimale de croissance des fonctions fréquemment hypercycliques pour D.

références:

[BG] F. Bayart, S. Grivaux, Frequently hypercyclic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006), 5083-5117.

[BM] F. Bayart, E. Matheron, Dynamics of linear operators , Cambridge Tracts in Mathematics 179 (2009)

[DS] D. Drasin, E. Saksman, optimal growth of frequently hypercyclic entire functions, Journal of Functional Analysis. 263, 11, 3674-3688

Ergodicité et représentations unitaires en courbure négative

Responsable : Christophe Pittet pittet.christophe@gmail.com

Durée du stage, date de début : second semestre 2014-2015

Résumé du sujet : comprendre un article de recherche actuel

Références : arXiv:1102.3036

Surfaces de Beauville

Responsable : Erwan Rousseau erwan.rousseau@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Une surface de Beauville est une surface algébrique complexe qui peut être construite comme le quotient d'un produit de deux courbes par l'action convenable d'un groupe fini. Le stage débutera par l'étude de la construction originale de Beauville [B] partant du produit de la courbe de Fermat de degré 5 par elle-même. Ensuite il pourra se poursuivre par l'étude géométrique de ces objets initiée par Catanese [C]. Celle-ci fait intervenir de la géométrie algébrique complexe, de la théorie des groupes ainsi que des probabilités [G].

Références :

[B] A. Beauville, “Surfaces algébriques”, Astérisque 54, 1978.

[C] F. Catanese, “Fibred surfaces, varieties isogenous to a product and related moduli spaces”, American Journal of Math. 122 (2000), 1-44.

[G] S. Garion, “Beauville surfaces and probabilistic group theory”, prépublication octobre 2013, arxiv 1310.8587.

Surfaces de la classe VII réelles

Responsable : Andrei Teleman andrei.teleman@gmail.com

Par définition, une structure Réelle sur une variété complexe X est une involution anti-holomorphe de X, donc un automorphisme différentiable f de X tel que f2=idX et f*(J)=-J, où J∈ End(TX ) désigne la structure presque complexe associée à la structure complexe de X.

Une surface de la classe VII est une surface complexe avec kod(X)= - ∞ et b1(X)=1 (voir [2], [4]). Un exemple simple: une surface de Hopf primaire définie comme le quotient de C2∖{0} par le groupe cyclique engendré par une contraction holomorphe de C2∖{0} est une surface de la classe VII.

Beaucoup de surfaces de la classe VII admettent une structure Réelle évidente. Par exemple la surface de Hopf obtenue comme le quotient de C2∖{0} par le groupe cyclique engendré par par une contraction linéaire de la forme (u,v) ⟼ (au,bv) (où a, b sont des nombres réels avec 0<|a|<1, 0<|b|<1) admet évidemment une telle structure. Le mémoire proposé a comme buts:

1. Classifier, à isomorphisme près, les surfaces de Hopf munies d'une structure Réelle et les surfaces de Hopf éclatées munies d'une structure Réelle.

2. Etudier les fibrés holomorphes sur les surfaces de la classe VII munies d'une structure Réelle (voir [3], [4]).

3. Etudier (avec des exemples explicits) la structure réelle naturelle induite sur les espaces de modules de fibrés holomorphes sur une telle surface (facultatif, en fonction des intérêts et de la culture mathématique de l'étudiant, possible sujet de thèse de doctorat).

Bibliographie:

1. O. Forster: Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer (1981).

2. W. Barth, K. Hulek, Ch. Peters, A. Van de Ven: Compact complex surfaces, Springer (2004)

3. F. Hirzebruch: Topological Methods in Algebraic Topology, Springer (1978)

4. A. Teleman: Gauge theoretical methods in the classification of non-Kählerian surfaces, “Algebraic Topology - Old and New” (the Postnikov Memorial Volume), Banach Center Publications Vol. 85, 2009, https://www.i2m.univ-amu.fr/~teleman/documents/postnikov.pdf

Etude de flux Laplacien et le problème inverse

Responsable : Valentin A. Zagrebnov Valentin.Zagrebnov@univ-amu.fr

1. La diffusion stationnaire à travers des membranes semi-perméables donne exemple typique de transport Laplacien [1]. Les propriétés de flux Laplacien avec absorption sur un domaine compacte ne sont pas trop étudiées bien qu’ils aient les vastes applications : ça commence du problème de diffusion thermique, jusque l’imagerie médicale électrique ou d’impédance tomographique.

2. La description mathématique de flux Laplacien avec absorption est formulée comme un problème elliptique pour l’équation de Laplace avec deux conditions aux limites. La condition de Dirichlet sur la frontière extérieure et la condition de Robin sur la frontière intérieure (absorbante).

3. Problème inverse s’agit de reconstruction la frontière intérieure (absorbante) en sachant les donnes sur la frontière extérieure.

Les buts de stage :

- pour le cas deux-dimensionnelle utiliser la méthode des transformations conformes pour résoudre le problème elliptique directe ;

- utiliser la méthode de solution du problème inverse proposé dans ref.[2] ;

- faire des calcules numériques pour les cas particulières de donnés sur la frontière extérieure et pour les conditions de Robin parfaitement absorbantes.

[1] V.A. Zagrebnov, Journal of Math.Phys. (Analysis, Geometry) 4(4):551-568 (2008)

[2] I.Baydoun,V.A.Zagrebnov, Diffusion and Laplacian transport for absorbing domains, HAL-00619923, v.3 (2011); Theoretical and Mathematical Physics, 168(3): 1180–1191 (2011)